微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ.

y=log( log( log( log5x ) ) )

■答

y = 1 xlog5x( log( log5x ) )·( log( log( log5x ) ) )  

■ヒント

logx の微分の公式合成関数の微分の公式を利用して解く.

■解説

y =log( log( log( log5x ) ) )

この式を

y =logs  ,s =log( log( log5x ) )

と置き,合成関数の微分の公式を用いる.

dy ds = 1 s  

ds dx  は

s=logt  , t=log( log5x )

と置き,合成関数の微分の公式を用いる.

d s d x = 1 t  

d t d x  は

t = log u  , u=log5x

と置き,合成関数の微分の公式を用いる.

d t d u = 1 u  

d u d x  は

u = log v  , v = 5 x

と置き,合成関数の微分の公式を用いる.

d u d v = 1 v  , dv dx =5

以上より 

du dx = du dv · dv dx = 1 v ·5  

dt dx = dt du · du dx = 1 u · 1 v ·5  

ds dx = ds dt · dt dx = 1 t · 1 u · 1 v ·5  

dy dx = dy ds · ds dx = 1 s · 1 t · 1 u · 1 v ·5  

したがって

dy dx = 1 log( log( log5x ) ) · 1 log( log5x ) · 1 log5x · 1 5x ·5

= 1 xlog5x( log( log5x ) )·( log( log( log5x ) ) )  

  

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最終更新日: 2021年3月22日