合成関数を微分する手順
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合成関数を微分する手順

合成関数 y=f( g( x ) )   を次の手順に従っておこなう.

合成関数を変数 u  を用いて以下のように2つの関数に分ける.

y=f( u )

u=g( x )

y u  をそれぞれ微分する

まず, y uで微分する.微分した後,変数 u を変数 xで表しなおす.

dy du = f ( u )= f ( g( x ) )

次に, u xで微分する.

du dx = g ( x )  

合成関数の微分 dy dx は,計算した dy du du dx を掛け合わせる.合成関数の導関数を参照のこと.

dy dx = dy du · du dx = f ( g( x ) )· g ( x )  

■例

y= ( logx ) 3  を微分する.

y = u 3

u = log x

と2つの関数に分け,それぞれを微分する.

dy du =3 u 2 =3 ( logx ) 2  

du dx = 1 x  

よって,

d y d x = d y d u · d u d x

= 3 ( log x ) 2 · 1 x

= 3 ( log x ) 2 x

となる.

変数 uを用いず

y = { ( log x ) 3 }

= 3 ( log x ) 2 · ( log x )

= 3 ( log x ) 2 · 1 x

= 3 ( log x ) 2 x

と書くこともある.合成関数の微分の計算に慣れてくると間の式も省略してもよい.

 

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最終更新日: 2018年5月31日

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