微分に関する問題

■問題

次の関数の y x を用いずに, y y を用いて表せ.

y= e ax cosbx

■答

y = ( a 2 + b 2 )y+2a y

■ヒント

合成関数の微分の公式を利用して解く.

■解説

y = e ax cosbx ・・・・・・(1)

y = ( e ax ) cosbx+ e ax ( cosbx )

=a e ax cosbxb e ax sinbx

= e ax ( acosbxbsinbx ) ・・・・・・(2)

y = ( e ax ) ( acosbxbsinbx ) + e ax ( acosbx bsinbx )

=a e ax ( acosbxbsinbx ) + e ax ( absinbx b 2 cosbx )

= a 2 e ax cosbx2ab e ax sinbx b 2 e ax cosbx

= ( a 2 b 2 ) e a x cos b x 2 a b e a x sin b x ・・・・・・(3)

(1)より

e ax cosbx=y ・・・・・・(4)

(4),(2)より

y = a y b e a x sin b x

b e a x sin b x = a y y ・・・・・・(5)

(4),(5)を(3)に代入する.

y = ( a 2 b 2 ) y 2 a ( a y y )

= a 2 y b 2 y 2 a 2 y + 2 a y

= ( a 2 + b 2 ) y + 2 a y

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年10月9日