微分の計算問題

■問題

以下のように f( x ) g( x ) を置くとき, f( 0 )=g( 0 ) f ( 0 )= g ( 0 ) f ( 0 )= g ( 0 ) を満たす a b c を求めよ.

f( x )=3sinx+2 g( x )= a b x 2 +cx+3

■答

a=6 b= 27 4 c = 9 2

■ヒント

f ( 0 ) = g ( 0 ) f ( 0 ) = g ( 0 ) f ( 0 ) = g ( 0 ) の条件を式にする.

■解説

f ( 0 ) = 3 sin 0 + 2= 2

g ( 0 ) = a b · 0 2 + c · 0 + 3 = a 3

条件 f( 0 )=g( 0 ) より

2 = a 3

a = 6

よって

g ( x ) = 6 b x 2 + c x + 3

また

f ( x ) = 3 cos x

g ( x ) = 6 ( b x 2 + c x + 3 ) 6 ( b x 2 + c x + 3 ) ( b x 2 + c x + 3 ) 2 = 6 ( 2 b x + c ) ( b x 2 + c x + 3 ) 2 = 12 b x + 6 c ( b x 2 + c x + 3 ) 2

分数の導関数の微分の公式を用いる.) 

よって

f ( 0 ) = 3 cos 0 = 3

g ( 0 ) = 12 b · 0 + 6 c ( b · 0 2 + c · 0 + 3 ) 2 = 6 c 3 2 = 2 3 c

条件 f ( 0 )= g ( 0 ) より

3 = 2 3 c

c = 9 2

よって

g ( x ) = 12 b x 27 ( b x 2 9 2 x + 3 ) 2

また

f ( x ) = 3 sin x

g ( x ) = ( 12 b x 27 ) ( b x 2 9 2 x + 3 ) 2 ( 12 b x 27 ) { ( b x 2 9 2 x + 3 ) 2 } { ( b x 2 9 2 x + 3 ) 2 } 2

= 12 b ( b x 2 9 2 x + 3 ) 2 ( 12 b x 27 ) · 2 ( b x 2 9 2 x + 3 ) · ( 2 b x 9 2 ) ( b x 2 9 2 x + 3 ) 4

よって

f ( 0 ) = 3 sin 0 = 0

g ( 0 ) = 12 b ( b · 0 2 9 2 · 0 + 3 ) 2 ( b · 0 2 9 2 · 0 + 3 ) 4 ( 12 b · 0 27 ) · 2 ( b · 0 2 9 2 · 0 + 3 ) ( 2 b · 0 9 2 ) ( b · 0 2 9 2 · 0 + 3 ) 4

= 12 b · 3 2 ( 27 ) · 2 · 3 · ( 9 2 ) 3 4

= 108 b 729 81

= 4 b 27 3

条件 f ( 0 )= g ( 0 ) より

0 = 4 b 27 3

b = 27 4

 

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最終更新日: 2023年10月9日