微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ.

y=35 x 4 3x

■答

y =3 5 x 4 3x ( 4 x 3 3 )log5  

■ヒント

指数関数の底を e に変換してから指数関数の微分の公式より,微分する.

( a x ) = ( e log a x ) = e xloga      

の式を用いる.

また,合成関数の微分の公式を利用して解く.

■解説

y=3 5 x 4 3x =3 e ( x 4 3x )log5

u=( x 4 3x )log5 とおく.

y= e u

y = dy du · du dx

=3 e u ( 4 x 3 3 )log5

=3 e ( x 4 3x )log5 ( 4 x 3 3 )log5

=3 5 x 4 3x ( 4 x 3 3 )log5

( e ( x 4 3x )log5 = e log 5 x 4 3x = 5 x 4 3x )

の両辺の自然対数をとる.

logy=log3 5 x 4 3x

対数の定義より

logy=log3+( x 4 3x )log5

両辺を x で微分する.

d dx ( logy )= d dx { log3+( x 4 3x )log5 }

1 y d dx =( 4 x 3 3 )log5

dy dx =y( 4 x 3 3 )log5=3 5 x 4 3x ( 4 x 3 3 )log5

【備考】

z=logy

とおく.

d dx ( logy )= dz dx = dz dy dy dx = 1 y dy dx

z

z=logy y= 7 x 3 x  

の合成関数と考えている.

 

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最終更新日: 2023年10月9日