極値の問題

■問題

次の関数の極値を求め、そのグラフをかけ.

f ( x ) = x 3 6 x 2 + 9 x 4

■答

x = 1 のとき,極大値 f ( 1 ) = 0

x = 3 のとき,極小値 f ( 3 ) = 4

■解説

f ( x ) = x 3 6 x 2 + 9 x 4

f "( x ) = 3 x 2 12 x + 9

= 3 ( x 2 4 x + 3 )

= 3 ( x 1 ) ( x 3 )

f ( x ) = 0 とすると, x = 1 , 3

f ( x ) における増減表を次のようになる.

x 1 3
f ( x ) + 0 0 +
f( x ) 0
極大値
4
極小値

よって, x=1 のとき極大となり,極大値

f ( 1 ) = 1 3 6 1 2 + 9 1 4 = 0

である. x = 3 のとき極小となり,極小値

f ( 3 ) = 3 3 6 3 2 + 9 3 4 = 4

である.また, f ( x ) のグラフは次のようになる.

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最終更新日: 2023年10月9日