極値の問題

■問題

関数 f ( x ) = x 3 + ax + bx 3 x = 1 で極大, x = 3 で極小となるとき, a b の値を求めよ.また、極値を求めよ.

■答

a=3 b=9

x = 1 のとき,極大値 f ( 1 ) = 2

x = 3 のとき,極小値 f ( 3 ) = 30

■ヒント

x = 1 x = 3 に極値があるため

f 1 =0 f 3 =0

が成り立つ.

■解説

f ( x ) = x 3 + ax + bx 3 から

f x =3 x 2 +2x+b

x = 1 極大値 x = 3 極小値をとるため

f 1 =0 f 3 =0

が成り立つ.

f 1 = 2 a + b = 0   ・・・・・・(1)

f 3 = 6 a + b = 0   ・・・・・・(2)

(1),(2)を解くと

a=3 b=9

したがって

f ( x ) = x 3 3 x 2 9 x 3

f x = 3 x 2 6 x 9

=3( x 2 2x3)

= 3 ( x + 1 ) ( x 3 )

となるため,増減表を次のようになる.

x 1 3
f ( x ) + 0 0 +
f( x )
極大
極小

よって, x = 1 で極大, x = 3 で極小となり条件を満たす.ゆえに, a=3 b=9 となる.

x=1 のとき,極大値

f(1) = (1) 3 3 (1) 2 9(1)3 =2

である. x = 3 のとき,極小値

f ( 3 ) = 3 3 3 3 2 9 3 3 = 30

である.

 

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最終更新日: 2023年10月9日