極値の問題

■問題

次の関数の最大値と最小値を求めよ.

f(x)= x 3 3 x 2 9x   (2x5)

■答

x = 1 ,   5 のとき,最大値 5

x = 3 のとき,最小値 27

■解説

f ( x ) = x 3 3 x 2 9 x

f x = 3x 2 6x 9

= 3 ( x + 1 ) ( x 3 )

f ( x ) = 0 とすると, x = 1 , 3

f ( x ) における増減表を次のようになる.

x 2 1 3 5
f ( x )   + 0 - 0 +  
f( x ) 2 5
極大
27
極小
5

また, f ( x ) のグラフおよび最大値,最小値は次のようになる.

よって, x = 1 ,   5 のとき最大値は

f ( 1 ) = f ( 5 ) = 5

である. x = 3 のとき最小値は

f ( 3 ) = 27

である.

 

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最終更新日: 2023年10月9日