基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ.ただし,因数分解された形で答えを示せ.

x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 x 1

■答

x2 3 x+2

■計算

x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 x 1

1行目を1とするために,行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える.このときに符号が変わることに注意する.

= 1 x 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 x 1

行列式の計算則を用いて2行+1行× x1 ,3行+1行×(-1),4行+1行×(-1)の計算をする.

= 1 x1 1 1 0 1 x1 2 x+2 x+2 0 x+2 x2 0 0 x+2 0 x2

次数下げの計算を用いて,行列式の次数を1つ下げる.

= x x2 x+2 x+2 x+2 x2 0 x+2 0 x2

1行目の成分,2行目の成分,3行目の成分がいずれも x+2 の倍数になっているので,定数倍の性質を用いて各行から x+2 をくくりだす.

= x+2 3 x 1 1 1 1 0 1 0 1

1行目を1とするために,行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える.このとき符号が変わることに注意する.

= x+2 3 1 1 0 x 1 1 1 0 1

行列式の計算則を用いて2行+1行× x ,3行+1行の計算をする.

= x+2 3 1 1 0 x x+1 1 0 1 1

次数下げの計算を用いて,行列式の次数を1つ下げる.

= x+2 3 x+1 1 1 1

= x+2 3 x+1+1

= x2 3 x+2

 

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年10月10日