基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ.ただし,答えは因数分解された形で示せ.

x x + 1 x + 2 x + 3 x + 1 x + 2 x + 3 x x + 2 x + 3 x x + 1 x + 3 x x + 1 x + 2

■答

32 2x+3

■計算

x x + 1 x + 2 x + 3 x + 1 x + 2 x + 3 x x + 2 x + 3 x x + 1 x + 3 x x + 1 x + 2

行列式の計算則を用いて1行+2行,1行+3行,1行+4行の計算をする.

= 4 x + 6 4 x + 6 4 x + 6 4 x + 6 x + 1 x + 2 x + 3 x x + 2 x + 3 x x + 1 x + 3 x x + 1 x + 2

1行目の成分がすべて 4 x + 6 なので,定数倍の性質を用いて1行目から 4 x + 6 をくくりだす.

= 4 x + 6 1 1 1 1 x + 1 x + 2 x + 3 x x + 2 x + 3 x x + 1 x + 3 x x + 1 x + 2

行列式の計算則を用いて2行+1行× x+1 ,3行+1行× x+2 ,4行+1行× x+3 の計算をする.

= 4 x + 6 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 3 2 1

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる.

= 4 x + 6 1 2 1 1 2 1 3 2 1

2列目の成分が2の倍数なので,定数倍の性質を用いて2列から2をくくりだす.

= 2 4 x + 6 1 1 1 1 1 1 3 1 1

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1),3行+1行×3の計算をする.

= 2 4 x + 6 1 1 1 0 2 0 0 2 4

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる.

= 2 4 x + 6 2 0 2 4

= 16 4 x + 6

=32 2x+3

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年10月10日