基本的な行列の問題

基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ.ただし,答えは因数分解された形で示せ.

| x 1 1 1 x 1 1 1 x |

■答

( x+2 ) ( x1 ) 2

■計算

| x 1 1 1 x 1 1 1 x |

行列式の計算則を用いて1列+2列,1列+3列を計算する.

=| x+2 1 1 x+2 x 1 x+2 1 x |

1列の成分がすべて x+2 となったので,定数倍の性質を用いて1列から x+2をくくりだす.

=( x+2 )| 1 1 1 1 x 1 1 1 x |

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1),3行+1行×(-1)の計算をする.

=( x+2 )| 1 1 1 0 x1 0 0 0 x1 |

次数下げの計算を用いて,行列式の次数を1つ下げる.

=( x+2 )| x1 0 0 x1 |

=( x+2 ) ( x1 ) 2

■別解1

| x 1 1 1 x 1 1 1 x |

・1行に2行を加える.
・1行に3行を加える. ⇒行列式の計算則

=| x+2 x+2 x+2 1 x 1 1 1 x |

・1行の共通因数 x+2 をくくり出す⇒定数倍の性質

=( x+2 )| 1 1 1 1 x 1 1 1 x |

・2行に1行の-1倍を加える.
・3行に1行の-1倍を加える. ⇒行列式の計算則

=( x+2 )| 1 1 1 0 x1 0 0 0 x1 |

・次数下げをする. ⇒次数下げの計算

=( x+2 )| x1 0 0 x1 |

=( x+2 ) ( x1 ) 2

■別解2

| x 1 1 1 x 1 1 1 x |

・1行と2行を入れ替える.
行列式の行または列の入れ替えの性質

=| 1 x 1 x 1 1 1 1 x |

・2行に1行の x 倍を加える

・3行に1行の-1倍を加える. ⇒行列式の計算則

=| 1 x 1 0 1 x 2 1x 0 1x x1 |

・次数下げをする. ⇒次数下げの計算

・各成分を因数分解する.

=| ( 1x )( 1+x ) 1x 1x ( 1x ) |

・1行の共通因数 1x をくくり出す.

・2行の共通因数 1x をくくり出す.

= ( 1x ) 2 | 1+x 1 1 1 |

= ( 1x ) 2 ( 1x1 )

=( x+2 ) ( x1 ) 2

 

 

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年7月10日