偏微分の基礎

偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ.

z= 5 x 2 +7 y 3

■答

z x = 5x 5 x 2 +7 y 3

z y = 21 y 2 2 5 x 2 +7 y 3

■ヒント

平方根を累乗根の指数形である ( 5 x 2 +7 y 3 ) 1 2 に変形し,合成関数の微分を行う.
偏導関数の定義を用いて偏微分する.

■解説

平方根を累乗根の指数に変形する.
指数が有理数の場合も参照.

z= 5 x 2 +7 y 3 = ( 5 x 2 +7 y 3 ) 1 2

u=5 x 2 +7 y 3 とおくと,

z= u 1 2

微分する.

dz du = 1 2 · u 1 2 1

= 1 2 u 1 2

= 1 2 u (指数が有理数の場合も参照.)

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

u x =52 x 21 =10x

dz du u x = 10x 2 u = 5x u

u=5 x 2 +7 y 3 を代入する.

z x = 5x 5 x 2 +7 y 3

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

u y =73 y 31 =21 y 2

dz du u y = 1 2 u 21 y 2

u=5 x 2 +7 y 3 を代入する.

z y = 21 y 2 2 5 x 2 +7 y 3

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月24日