偏微分の基礎

偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ.

z= sin 1 3 x 2 y 3

■答

z x = 6x y 3 19 x 4 y 6

z y = 9 x 2 y 2 19 x 4 y 6

■ヒント

sin 1 の微分を,合成関数の微分によって行う.
偏導関数の定義を用いて偏微分する.
微分後の式に数値を代入する.

■解説

u=3 x 2 y 3 とおくと,

z= sin 1 u

z u = 1 1 u 2

u=3 x 2 y 3 を代入する.

z u = 1 1 ( 3 x 2 y 3 ) 2

= 1 19 x 4 y 6

u x =6x y 3

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

z x = z u u x

= 1 19 x 4 y 6 6x y 3

= 6x y 3 19 x 4 y 6

u y =9 x 2 y 2

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

z y = z u u y

= 1 1 ( 3 x 2 y 3 ) 2 9 x 2 y 2

= 9 x 2 y 2 19 x 4 y 6

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月24日