偏微分とその値

■問題

次の関数について f x 1,2 f y 1,2 を求めよ.

f( x,y )= x 2 xy

■答

それぞれ, 2 3 1 2 3

■ヒント

平方根を累乗根の指数に変形し,合成関数の微分を行う.
偏導関数の定義を用いて偏微分する.
微分後の式に数値を代入する.

■解説

f( x,y ) を変形すると

f( x,y ) = x 2 xy

= ( x 2 xy ) 1 2

(平方根を累乗根の指数に変形する. 指数が有理数の場合も参照.)

更に, u= x 2 xy とおくと

f( x,y )= u 1 2

f( x,y ) u 微分し, u= x 2 xy を代入する.

d du f( x,y ) = 1 2 · u 1 2 1

= 1 2 u 1 2

= 1 2 u (平方根を累乗根の指数に変形する. 指数が有理数の場合も参照.)

= 1 2 x 2 xy

u x で偏微分すると

u x =2xy

よって, z x で偏微分すると

(偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.)

d du f( x,y )× u x = 1 2 x 2 xy ×( 2xy )

x f( x,y ) = 2xy 2 x 2 xy

2xy 2 x 2 xy x=1 ,y=2 を代入する.

f x 1,2 = 2·1( 2 ) 2 1 2 1·( 2 )

= 2+2 2 1+2

= 4 2 3

= 2 3

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

u y =x

d du f( x,y )× u y = 1 2 x 2 xy ×( x )

y f( x,y ) = x 2 x 2 xy

x 2 x 2 xy x=1,y=2 を代入する.

f y 1,2 = 1 2 1 2 1 2

= 1 2 1+2

= 1 2 3

 

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最終更新日: 2024年5月7日