偏微分とその値

■問題

次の関数について f x 1,2 f y 1,2 を求めよ.

f( x,y )= sin 1 x y

■答

それぞれ, 1 3 1 2 3

■ヒント

sin 1 の微分を,合成関数の微分によって行う.
偏導関数の定義を用いて偏微分する.
微分後の式に数値を代入する.

■解説

u= x y とおくと

f( x,y )= sin 1 u

微分する.

d du f( x,y ) = 1 1 u 2

u= x y を代入する.

= 1 1 ( x y ) 2

= 1 1 x 2 y 2

通分する.

= 1 y 2 x 2 y 2

= y 2 y 2 x 2

u x = 1 y

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

d du f( x,y )× u x = y 2 y 2 x 2 × 1 y = 1 y y 2 y 2 x 2

x f x,y = 1 y y 2 y 2 x 2

1 y y 2 y 2 x 2 x=1,y=2 を代入する.

f x 1,2 = 2 2 2 2 1 2 × 1 2 = 2 3 × 1 2 = 1 3

u y = x y 2

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

d du f( x,y )× u y = y 2 y 2 x 2 × x y 2 = x y 2 y 2 y 2 x 2

y f x,y = x y 2 y 2 y 2 x 2

x y 2 y 2 y 2 x 2 x=1,y=2 を代入する.

f y 1,2 = 1 2 2 2 2 2 2 1 2 = 1 2 3

 

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最終更新日: 2024年5月7日