合成関数の偏微分

■問題

z=f( x,y ) , x=rcosθ , y=rsinθ 平面の極座標変換) ならば

( dz dx ) 2 + ( dz dy ) 2 = ( dz dr ) 2 + 1 r 2 ( dz dθ ) 2

となることを示せ.

■ヒント

合成関数の偏導関数を参照せよ.

■解説

z rで偏微分する.

z r = f x x r + f y y r

= f x · cos θ + f y · sin θ  

z θ で偏微分する.

z θ = f x x θ + f y y θ

= f x · ( r sin θ ) + f y · r cos θ

= r ( f x sin θ + f y cos θ )

以上より

( dz dr ) 2 + 1 r 2 ( dz dθ ) 2

= ( f x · cos θ + f y · sin θ ) 2 + 1 r 2 { r ( f x sin θ + f y cos θ ) } 2

= ( f x 2 cos 2 θ + 2 f x f y cos θ sin θ + f y 2 sin 2 θ )

     + 1 r 2 { r 2 ( f x 2 sin 2 θ 2 f x f y cos θ sin θ + f y 2 cos 2 θ ) }

= ( f x 2 cos 2 θ + 2 f x f y cos θ sin θ + f y 2 sin 2 θ )

     + ( f x 2 sin 2 θ 2 f x f y cos θ sin θ + f y 2 cos 2 θ )

= f x 2 cos 2 θ + f x 2 sin 2 θ + f y 2 sin 2 θ + f y 2 cos 2 θ

= f x 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) + f y 2 ( sin 2 θ + cos 2 θ )

= f x 2 + f y 2

= ( z x ) 2 + ( z y ) 2

 

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最終更新日: 2023年8月29日