2次の偏微分

2次の偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ.

z= tan 1 y x

■答

2 z x 2 = 2xy ( x 2 + y 2 ) 2 z y = 2xy ( x 2 + y 2 ) 2 2 z xy = x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2  

■ヒント

2次偏導関数 2 z x 2 2 z y 2 2 z yx 2 z xy の4つを求める.

z x z y を計算してから,それぞれを更に x y で偏微分する.

■解説

与式を変形すると

z = tan 1 y x

= tan 1 y x 1

z x の計算

z= tan 1 y x 1 偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

z x = x tan 1 y x 1

= 1 1+ ( y x 1 ) 2 ·( y x 2 )

= y x 2 1+ y 2 x 2

= y x 2 1+ y 2 x 2

= y x 2 + y 2

=y ( x 2 + y 2 ) 1  ・・・・・・(1)

z y の計算

z= tan 1 y x 1 偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

z y = y tan 1 y x 1

= 1 1+ ( y x 1 ) 2 · x 1

= x 1 1+ y 2 x 2

= 1 x 1+ y 2 x 2

= x x 2 + y 2

=x ( x 2 + y 2 ) 1  ・・・・・・(2)

2 z x 2 の計算

(1)を更に, 偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

2 z x 2 = x ( z x )

= x { y ( x 2 + y 2 ) 1 }

=y ( x 2 + y 2 ) 2 ·2x

= y ( x 2 + y 2 ) 2 ·2x

= 2xy ( x 2 + y 2 ) 2

2 z y 2 の計算

(2)を更に, 偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

2 z y 2 = y ( z y )

= y { x ( x 2 + y 2 ) 1 }

=x ( x 2 + y 2 ) 2 ·2y

= x ( x 2 + y 2 ) 2 ·2y

= 2xy ( x 2 + y 2 ) 2

2 z yx の計算

(1)を更に,偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

2 z yx = y ( z x )

= y { y ( x 2 + y 2 ) 1 }

積の微分の公式を用いて,

= y ( y ) ( x 2 + y 2 ) 1 +( y ) y ( x 2 + y 2 ) 1

= ( x 2 + y 2 ) 1 +( y ) y ( x 2 + y 2 ) 2 2y

= ( x 2 + y 2 ) 1 +2 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2

= 1 x 2 + y 2 + 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2

= ( x 2 + y 2 )+2 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2

= x 2 y 2 +2 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2

= x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2  ・・・・・・(3)

2 z xy の計算

(2)を更に,偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

2 z xy = x ( z y )

= z x { x ( x 2 + y 2 ) 1 }

= ( x 2 + y 2 ) 1 +x x ( x 2 + y 2 ) 1

= ( x 2 + y 2 ) 1 +x( 1 ) ( x 2 + y 2 ) 2 2x

= x 2 + y 2 2 x 2 ( x 2 + y 2 ) 2

= x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2  ・・・・・・(4)

(3),(4)より

2 z yx = 2 z xy

となり,2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>2次の偏微分

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月31日