2次の偏微分

2次の偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ.

z=cos x 2 y 2

■答

2 z x 2 =2 y 2 sin x 2 y 2 4 x 2 y 4 cos x 2 y 2

2 z y 2 =2 x 2 sin x 2 y 2 4 x 4 y 2 cos x 2 y 2

2 z yx = 2 z xy =4xysin x 2 y 2 4 x 3 y 3 cos x 2 y 2

■ヒント

2次偏導関数 2 z x 2 2 z y 2 2 z yx 2 z xy の4つを求める.

z x z y を計算してから,それぞれを更に x y で偏微分する.

■解説

z x の計算

z=cos x 2 y 2 偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

z x = x cos x 2 y 2 =sin x 2 y 2 × x ( x 2 y 2 ) =2x y 2 sin x 2 y 2  ・・・・・・(1)

z y の計算

z=cos x 2 y 2 偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

z y = y cos x 2 y 2 =sin x 2 y × 2 y ( x 2 y 2 ) =2 x 2 ysin x 2 y 2  ・・・・・・(2)

2 z x 2 の計算

(1)を更に, 偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

2 z x 2 = x z x

= x 2x y 2 sin x 2 y 2

=2 y 2 sin x 2 y + 2 ( 2x y 2 )cos x 2 y × 2 x ( x 2 y 2 )

=2 y 2 sin x 2 y 2 2x y 2 2x y 2 cos x 2 y 2

=2 y 2 sin x 2 y 2 4 x 2 y 4 cos x 2 y 2

2 z y 2 の計算

(2)を更に, 偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

2 z y 2 = y ( z y )

= y 2 x 2 ysin x 2 y 2

=2 x 2 sin x 2 y + 2 ( 2 x 2 y )cos x 2 y × 2 y ( x 2 y 2 )

=2 x 2 sin x 2 y 2 2 x 2 y2 x 2 ycos x 2 y 2

=2 x 2 sin x 2 y 2 4 x 4 y 2 cos x 2 y 2

2 z yx の計算

(1)を更に,偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

2 z yx = y ( z x )

= y ( 2x y 2 sin x 2 y 2 )

積の微分の公式を用いて

=4xysin x 2 y 2 +( 2x y 2 )cos x 2 y 2 × y ( x 2 y 2 )

=4xysin x 2 y 2 2x y 2 2 x 2 ycos x 2 y 2

=4xysin x 2 y 2 4 x 3 y 3 cos x 2 y 2  ・・・・・・(3)

2 z xy の計算

(2)を更に,偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

2 z xy = x ( z y )

= x ( 2 x 2 ysin x 2 y 2 )

=4xysin x 2 y 2 +( 2 x 2 y )cos x 2 y 2 × x ( x 2 y 2 )

=4xysin x 2 y 2 2 x 2 ycos x 2 y 2 ×2x y 2

=4xysin x 2 y 2 4 x 3 y 3 cos x 2 y 2  ・・・・・・(4)

(3),(4)より

2 z yx = 2 z xy

となり,2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた.

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月31日