合成関数の2次偏導関数

■問題

z=f( x,y ),x=tsint,y=1cost のとき, d 2 z d t 2 を求めよ.

■答

f yy ( 1cost ) 2 +2 f xy ( 1cost )sint + f yy sin 2 t+ f x sint+ f y cost

■ヒント

x y t で2回微分する. 求めた式を 合成関数の2次偏導関数の公式に 代入する.

■解説

x t 微分すると

d x d t = 1 cos t

これを更に t 微分すると,

d 2 x d 2 y = d dt ( dx dy )= d dt ( 1cost ) =sint

同様の手順で y t 2階微分をすると

d y d t = sin t

d 2 y d t 2 = d d t ( d y d t ) = d d t ( sin t ) = cos t

となる.

以上より,合成関数の2次偏導関数

d 2 z d t 2 = f x x ( d x d t ) 2 + 2 f x y d x d t d y d t + f y y ( d y d t ) 2 + f x d 2 x d t 2 + f y d 2 y d t 2

= f x x ( 1 cos t ) 2 + 2 f x y ( 1 cos t ) sin t + f y y sin 2 t + f x sin t + f y cos t

 

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最終更新日: 2023年8月29日