陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) 極値を調べよ.

x 2 2xy+3 y 2 =8

■答

x=2 のとき,極小値 2 をとり, x=2 のとき,極大値 2 をとる.

■ヒント

関数の極値の定理2を用いて極大・極小を判断する.

■解説

与式を変形すると

x 2 2xy+3 y 2 8=0  ・・・・・・(1)

となり

  f( x,y )= x 2 2xy+3 y 2 8    ・・・・・・(2)

とおく.

(2)を偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

f x = x f( x,y )

= x ( x 2 2xy+3 y 2 8 )

=2x2y

よって, f x x,y =0 となるのは

y=x  ・・・・・・(3)

ときである.(3)を(1)に代入して,

x 2 2x·x+3 x 2 8=0

x 2 2 x 2 + 3 x 2 8 = 0

2 x 2 = 8

x 2 =4

x =±2

故に極値をとる候補は, y=x の関係から, ( 2,2 ),( 2,2 ) の2点となる.

次に,上記2点( y =0 ,言い換えると, f x x,y =0 )における y を求める.この場合

y = d 2 y d x 2 = f xx f y  ・・・・・・(4)

の関係がある.(関数の極値の定理2を参照)

f xx = x f x = x ( 2x2y ) =2  ・・・・・・(5)

f y = y ( x 2 2xy+3 y 2 8 ) =2x+6y  ・・・・・・(6)

(5),(6)を(4)に代入する.

y = 2 2x+6y = 1 x3y

( 2,2 ) のとき y

y = 1 23·2 = 1 26 = 1 4

よって

y <0

( 2,2 ) のとき y

y = 1 23·( 2 ) = 1 2+6 = 1 4

よって

y >0

以上から, x=2 のとき,極小値 2 をとり, x=2 のとき,極大値 2 をとる.


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最終更新日: 2023年9月17日