陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) 極値を調べよ.

x 2 y 2 2x+9 y 2 =0

■答

x=3 のとき,極小値 1 3 をとり, x=3 のとき,極大値 1 3 をとる.

■ヒント

関数の極値の定理2を用いて極大・極小を判断する.

■解説

f( x,y )= x 2 y 2 2x+9 y 2  ・・・・・・(1)

とおく.

(1)を偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

f x = x f( x,y ) = x ( x 2 y 2 2x+9 y 2 ) =2 y 2 x2

よって, f x x,y =0 となるのは

2 y 2 x2 =0

2 y 2 x =2

x y 2 =1

y 2 = 1 x

y 2 0 より, x>0 となる.このとき

y =± 1 x

y= 1 x を与式に代入して

x 2 ( 1 x ) 2 2x+9 ( 1 x ) 2 =0

x 2 · 1 x 2x+9· 1 x =0

x2x+ 9 x =0
x+ 9 x =0

x = 9 x

x 2 =9

x>0 より

x =3

y= 1 x を代入すると

x 2 ( 1 x ) 2 2x+9 ( 1 x ) 2 =0

x 2 · 1 x 2x+9· 1 x =0

x2x+ 9 x =0

となり, y= 1 x と同じ式となるので,同様に

x=3

となる.

故に極値をとる候補は, y=± 1 x の関係から, x=3 を代入したときに得られる ( 3, 1 3 ),( 3, 1 3 ) の2点となる.

次に,上記2点( y =0 ,言い換えると, f x x,y =0 )における y を求める.この場合

y = d 2 y d x 2 = f xx f y  ・・・・・・(2)

の関係がある.(関数の極値の定理2を参照)

f xx = x f x = x ( 2 y 2 x2 ) =2 y 2  ・・・・・・(3)

f y = y ( x 2 y 2 2x+9 y 2 ) =2 x 2 y+18y  ・・・・・・(4)

(3),(4)を(2)に代入する.

y = 2 y 2 2 x 2 y+18y = y x 2 +9


( 3, 1 3 ) のとき y は,

y = 1 3 3 2 +9 = 1 9+9 1 3 = 1 81 1 3

よって

y <0

( 3, 1 3 ) のとき y

y = 1 3 3 2 +9 = 1 9+9 1 3 = 1 81 1 3

よって

y >0

以上から, x=3 のとき,極小値 1 3 をとり, x=3 のとき,極大値 1 3 をとる.

 

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最終更新日: 2023年9月17日