陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) 極値を調べよ.

x 4 16xy+3 y 4 =0

■答

x=2 のとき,極小値 2 をとり, x=2 のとき,極大値 2 をとる.
( 0,0 ) は特異点である.

■ヒント

関数の極値の定理2を用いて極大・極小を判断する.

■解説

f( x,y )= x 4 16xy+3 y 4  ・・・・・・(1)

とおく.

(1)を偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

f x = x f( x,y ) = x ( x 4 16xy+3 y 4 ) =4 x 3 16y

よって, f x x,y =0 となるのは

4 x 3 16y =0

16y =4 x 3

y = 1 4 x 3  ・・・・・・(2)

この関係を与式に代入して

x 4 16x·( 1 4 x 3 )+3· ( 1 4 x 3 ) 4 =0

x 4 4 x 4 + 3 4 4 x 12 =0

3 4 4 x 12 3 x 4 =0

1 4 4 x 12 x 4 =0

1 4 4 x 12 x 4 =0

( 1 4 x 3 ) 4 x 4 =0

{ ( 1 4 x 3 ) 2 + x 2 }{ ( 1 4 x 3 ) 2 x 2 } =0

{ ( 1 4 x 3 ) 2 + x 2 }( 1 4 x 3 +x )( 1 4 x 3 x ) =0

{ ( 1 4 x 3 ) 2 + x 2 =0( 3 ) 1 4 x 3 +x=0( 4 ) 1 4 x 3 x=0( 5 )

(3)より

1 16 x 6 + x 2 =0
x 2 ( 1 16 x 4 +1 ) =0

{ x 2 =0( 6 ) 1 16 x 4 +1=0( 7 )

(6)より

x=0

(7)より

1 16 x 4 =1

x 4 =16

となり,これを満たす x はない.

次に,(4)より

1 4 x 3 +x =0

x( 1 4 x 2 +1 ) =0

{ x=0 1 4 x 2 +1=0( 8 )

(8)より

1 4 x 2 =1

となり,これを満たす x はない.

最後に(5)から

x 1 4 x 2 1 =0

{ x=0 1 4 x 2 1=0( 9 )

(9)から

1 4 x 2 =1

x 2 =4

x =±2

以上から, f x x,y =0 を満たす x x=0,±2 となる.

故に極値をとる候補は,(2) の関係から

x=0 のとき

y=0

x=2 のとき

y = 1 4 · 2 3 = 1 4 ·8 =2

x=2 のとき

y = 1 4 · ( 2 ) 3 = 1 4 ·( 8 ) =2

となり, ( 0,0 ),( 2,2 ),( 2,2 ) の3点となる.

次に,上記3点( y =0 ,言い換えると, f x x,y =0 )における y を求める.この場合

y = d 2 y d x 2 = f xx f y  ・・・・・・(10)

の関係がある.(関数の極値の定理2を参照)

f xx = x f x = x ( 4 x 3 16y ) =12 x 2  ・・・・・・(11)

f y = y ( x 4 16xy+3 y 4 ) =16x+12 y 3  ・・・・・・(12)

(11),(12)に(10)を代入して

y = 12 x 2 16x+12 y 3 = 3 x 2 4x+3 y 3 = 3 x 2 4x3 y 3


( 0,0 ) のとき y

y = 3· 0 2 4·03· 0 3 =0

よって

y =0

( 2,2 ) のとき y は,

y = 3· 2 2 4·23· 2 3 = 3·4 83·8 = 12 824 = 12 16 = 3 4

よって

y <0


( 2,2 ) のとき y

y = 3· ( 2 ) 2 4·( 2 )3· ( 2 ) 3 = 3·4 83·( 8 ) = 12 8+24 = 12 16 = 3 4

よって

y >0

以上から, x=2 のとき,極小値 2 をとり, x=2 のとき,極大値 2 をとる.
( 0,0 ) は特異点である.

 

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最終更新日: 2023年9月18日