陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) 極値を調べよ.

x 4 +4 x 2 +3 y 3 2y=0

■答

x=0 のとき,極小値 0 をとり, x=0 のとき,極大値 2 3 , 2 3 をとる. 

■ヒント

関数の極値の定理2を用いて極大・極小を判断する.

■解説

f( x,y )= x 4 +4 x 2 +3 y 3 2y  ・・・・・・(1)

とおく.

(1)を 偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

f x = x f( x,y ) = x ( x 4 +4 x 2 +3 y 3 2y ) =4 x 3 +8x =0

よって, f x x,y =0 となるのは

4 x 3 +8x =0

x 3 +2x =0

x( x 2 +2 ) =0

{ x=0 x 2 +2=0( 2 )

(2)から

x 2 =2

となり,これを満たす x はない.

以上から, f x x,y =0 を満たす x x=0 となる.

x=0 を与式に代入すると

0 4 +4· 0 2 +3 y 3 2y =0

3 y 3 2y =0

y( 3 y 2 2 ) =0

{ y=0 3 y 2 2=0( 3 )

3 y 2 =2

y 2 = 2 3

y =± 2 3

故に極値をとる候補は, ( 0,0 ), ( 0, 2 3 ), ( 0, 2 3 ) の3点となる.

次に,上記3点( y =0 ,言い換えると, f x x,y =0 )における y を求める.この場合

y= d 2 y d x 2 = f xx f y  ・・・・・・(4)

の関係がある.(関数の極値の定理2を参照)

f xx = x f x = x ( 4 x 3 +8x ) =12 x 2 +8  ・・・・・・(5)

f y = y ( x 4 +4 x 2 +3 y 3 2y ) =9 y 2 2  ・・・・・・(6)

(5),(6)を(4)に代入して

y = 12 x 2 +8 9 y 2 2

( 0,0 ) のとき y は,

y = 12· 0 2 +8 9· 0 2 2 = 8 2 = 8 2 =4

よって

y>0

( 0, 2 3 ) のとき y

y = 12· 0 2 +8 9· ( 2 3 ) 2 2 = 8 9· 2 3 2 = 8 62 = 8 4 =2

よって

y<0

( 0, 2 3 ) のとき y

y = 12· 0 2 +8 9· ( 2 3 ) 2 2 = 8 9· 2 3 2 = 8 62 = 8 4 =2

よって

y<0

以上から, x=0 のとき,極小値 0 をとり, x=0 のとき,極大値 2 3 , 2 3 をとる.

 

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最終更新日: 2023年9月18日