三角関数の合成問題1

三角関数の合成問題

■問題

次の関数を r sin ( θ + α ) の形に表せ.ただし, r > 0 π < θ < π とする.

sin θ cos θ

■答

2 sin θ π 4

■ヒント

三角関数の合成公式を参考にする.

■解き方

r = 1 2 + ( 1 ) 2 = 2

より

sinθcosθ = 2 1 2 sinθ 1 2 cosθ  ・・・・・・(1)

と式を変形する.

三角関数の合成公式より

sinθcosθ= 2 sin θ+α  ・・・・・・(2)

の形に変形できる.(2)に加法定理を適用すると

2 sin θ+α = 2 sinθcosα+cosθsinα  ・・・・・・(3)

となる.

(1)と(3)を比較すると

cosα= 1 2 sinα= 1 2

となる連立方程式が得られる.これを解く

α =- π 4

となる.したがって

sinθcosθ = 2 cos π 4 sinθsin π 4 cosθ = 2 sin θ π 4

となる.

●作図より求める方法

座標平面上に, sin の係数 1 x 成分, cos の係数 - 1 y 成分とする点 P と原点 O を結ぶ線分 OP を描く.線分 OP の長さが r , 線分 OP x 軸となす角が角度 α となる.

よって

r= 2 α =- π 4

sinθcosθ = 2 sin θ π 4

となる.

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年3月17日