加法定理・合成関数に関する問題

加法定理・合成関数に関する問題

■問題

次式を rsin( θ+α ) r>0,π<απ の形に変形しなさい.

2 sinθ 2 cosθ

■答

2sin θ 1 4 π

■ヒント

(1)合成した時の係数 r を求める.

(2)合成関数の公式を使い解を導きだす.

■解き方

r= ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2+2 =2

より

2 sinθ 2 cosθ = 2( 2 2 sinθ 2 2 cosθ )  ・・・・・・(1)

と式を変形する.

三角関数の合成の公式より

2 sinθ 2 cosθ =2sin θ+α  ・・・・・・(2)

の形に変形できる.(2)に加法定理を適用すると

=2sin θ+α =2 sinθcosα+cosθsinα  ・・・・・・(3)

となる.

(1)と(3)を比較すると

cosα= 2 2 sinα= 2 2

となる連立方程式が得られる.これを解くと(図参照)

α= 1 4 π

となる.したがって

2 sinθ 2 cosθ =2sin θ 1 4 π

となる.

●作図より求める方法

座標平面上に, sin の係数 2 x 成分, cos の係数 2 y 成分とする点 P と原点 O を結ぶ線分 OP を描く.線分 OP の長さが r , 線分 OP x 軸となす角が角度 α となる.

よって

r=2 α = π 4

2 sinθ 2 cosθ =2sin θ 1 4 π

となる.

 

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最終更新日: 2023年4月12日