三角関数の方程式に関する問題

三角関数の方程式に関する問題)

■問題

次の方程式を解け.ただし, 0θ< πとする.

tanθ=1

■答

θ=14 π

■解説

tanθの値は,単位円において

tanθ=   y座標
x座標

に相当する(ここを参照).

しかし, tanθ を求める場合,底辺の長さが1である直角三角形を描くと高さが tanθ になるので都合がよい.よって,以下のような作図をする.

まず,単位円を描く

x=1 x=1 の直線を引く.

tanθ=1より, x=1 上の y の値が1となるところを点 P とする.

P と原点 O を通る直線を描き, x=1 との交点を点 Q とする.

P ,点 Q から x 軸に垂線を下ろし,それぞれの足を R S とする.

直角三角形 OPR と直角三角形 OQS を描く.

この作図により,

tan POR =tan θ 1 =1

tan θ 2 =tan θ 1 +π =tan θ 1 =1  (ここを参照)

となる.

OR=1 PR=1 より,基本的な三角形と照らし合わせると

POR= θ 1 = 1 4 π

となる.

QOS= 1 4 π より

θ 2 =π+ 1 4 π= 5 4 π

となる.

0θ< πであるから(円周上の赤線に対応), θ2は範囲外となる.

よって,求める角は

θ=14 π

となる.

 

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最終更新日: 2023年4月12日