三角関数の方程式に関する問題

三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け.ただし, 0θ< πとする.

3tanθ =1

■答

θ=56 π

■解説

tanθの値は,単位円において

tanθ=   y座標
x座標

に相当する(ここを参照).

しかし, tanθ を求める場合,底辺の長さが1である直角三角形を描くと高さが tanθ になるので都合がよい.よって,以下のような作図をする.

まず,単位円を描く

x=1 x=1 の直線を引く.

3tanθ =1より, tanθ= 1 3 である.よって, x=1 上の y の値が 1 3 となるところを点 P とする.

P と原点 O を通る直線を描き, x=1 との交点を点 Q とする.

P ,点 Q から x 軸に垂線を下ろし,それぞれの足を R S とする.

直角三角形 OPR と直角三角形 OQS を描く.

この作図により

tan π QOS =tan θ 1 = 1 3

tan θ 2 =tan θ 1 +π =tan θ 1 = 1 3  (ここを参照)

となる.

OS=1 QS= 1 3 より,基本的な三角形と照らし合わせると

QOS= 1 6 π θ 1 =π 1 6 π= 5 6 π

となる.

QOS= 1 6 π より

θ 2 =π+ 5 6 π= 11 6 π

となる.

0θ< πであるから(円周上の赤線に対応), θ2は範囲外となる.

よって,求める角は

θ=56 π

となる.

 

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最終更新日: 2023年4月12日