<   加法定理の問題8

加法定理の問題

■問題

90 ° <α< 180 ° sinα= 4 5 のとき, cos2α sin2α tan α 2 の値を求めよ.

■答

cos2α= 7 25 sin2α= 24 25 tan α 2 =2

■ヒント

sinα= 4 5 を用いて cosα を算出する.

90 ° <α< 180 ° より, cosα<0 45 ° < α 2 < 90 ° より, tan α 2 >0 となることに注意する.

2倍角の公式半角の公式を利用する.

■解説

sinα= 4 5 より

cosα=± 1 ( 4 5 ) 2 =± 3 5

90 ° <α< 180 ° から

cosα= 3 5

次に,2倍角の公式より

cos2α =12 sin 2 α =12 ( 4 5 ) 2 =12× 16 25 =1 32 25 = 7 25

sin2α =2sinαcosα =2× 4 5 ×( 3 5 ) = 24 25

90 ° <α< 180 ° より, 45 ° < α 2 < 90 ° であるから, tan α 2 >0 である. 半角の公式を用いて

tan α 2 = sin 2 α 2 cos 2 α 2 = 1cosα 1+cosα = 1( 3 5 ) 1+( 3 5 ) = 8 2 =2

 

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最終更新日: 2023年3月15日