加法定理の問題9

加法定理の問題

■問題

0 ° <α< 180 ° , cosα= 12 13 のとき  2α α 2 の正弦,余弦,正接の値を求めよ.

■答

sin2α= 120 169 cos2α= 119 169 tan2α= 120 119

sin α 2 = 26 26 cos α 2 = 5 26 26 tan α 2 = 1 5

■ヒント

2α α 2 の値の正負の範囲に注意して2倍角の公式半角の公式に代入する.

■解説

0 ° <α< 180 ° より sinα>0 である.よって

sinα= 1 cos 2 α = 1 ( 12 13 ) 2 = 25 169 = 5 13

2α の場合

sin2α=2sinαcosα=2× 5 13 × 12 13 = 120 169

cos2α=2 cos 2 α1=2× ( 12 13 ) 2 1 = 288 169 1 = 119 169

tan2α= sin2α cos2α = 120 169 119 169 = 120 119

α 2 の場合

0 ° < α 2 < 90 ° より sin α 2 >0 cos α 2 >0 である.よって

sin α 2 = 1cosα 2 = 1 12 13 2 = 1 13 2 = 1 26 = 26 26

cos α 2 = 1+cosα 2 = 1+ 12 13 2 = 25 13 2 = 25 26 = 5 26 26

tan α 2 = sin α 2 cos α 2 = 26 26 5 26 26 = 1 5

 

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最終更新日: 2023年3月15日