三角関数の方程式に関する問題

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け.ただし, 0θ< 2πとする.

2cos2 θtan2 θ1=0

■答

θ=14 π34 π54 π74 π

■ヒント

公式 tanθ=sin θcosθ を用いて式をsin に統一して計算を行う.

■解説

公式 tanθ=sin θcosθ を用いて式を与式のように変形する.

2(cosθ tanθ)2 1=0

2(cosθ sinθcos θ)2 1=0

2sin2θ 1=0

sinθ=t とおくと式は次のようになる.

2t2 1=0  ・・・・・(1)

(1)を因数分解して解くと次のような2次方程式になる.

(2t +1)( 2t1 )=0

t=1 2  ,  t=1 2

t を元に戻すと

sinθ= 1 2  ,  sinθ= 1 2

となり,これらの2つの方程式を解く

sinθ= 1 2  

sinθ= 1 2  

よって

sinθ=1 2のとき

θ=14 π34 π

sinθ= 12 のとき

θ=54 π74 π

 

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最終更新日: 2023年4月12日