三角関数の方程式に関する問題)

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け.ただし, 0θ< 2πとする.

2sinθtan θ=3

■答

θ=23 π 43 π

■ヒント

三角関数の関係式 を用いて与式をcos に統一して計算を行う.

■解説

公式 tanθ= sinθ cosθ を用いて式を次のように変形する.

2( sinθ sinθ cosθ )=3

2sin 2θ cosθ =3

2sin2 θ=3 cosθ

公式 sin2 θ+cos 2θ=1 を用いて式を cos に統一する.

2(1 cos2 θ)= 3cosθ

(22 cos2 θ)= 3cosθ

2cos 2θ+3 cosθ+ 2=0

2cos2 θ3 cosθ 2=0

cosθ=t とおくと式は次のような2次関数になる.

2t2 3t 2=0 ・・・・・・(1)

ただし, 1cosθ1 より, 1t1

これを因数分解して解くと次のようになる.

(2t+1 )(t 2)=0

1t1 より

t2<0

よって

2t+1=0 t= 12

t を元に戻すと

cosθ= 1 2

となる.この方程式を解く.

cosθ= 1 2  

よって

θ=23 π 43 π

 

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最終更新日: 2023年4月12日