三角関数の方程式に関する問題

三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式の最大値と最小値を求めよ.ただし, 0θ2π とする.

y=sin 2θ2 cosθ+1

■答

θ=2πのとき最大値  3

θ=0のとき最小値  1

■ヒント

公式 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 を利用して, cos θ に統一する.

cos θ

t と置き換えて計算を行う.

■解説

sin2θ+ cos2θ= 1より

sin 2 θ=1 cos 2 θ ・・・・・・(1)

与式に(1)を代入すると

y=(1 cos2 θ) 2cosθ+1

y=cos 2θ2 cosθ+2 ・・・・・・(2)

となる. cosθ=t とおいて,(2)に代入する.

y=t2 2t+2 ・・・・・・(3)

(3)の2次関数を平方完成する.

y=( t2+2t )+2

y=( t+1) 2+3

t の範囲を求める.

0θ 2π

1cos θ1

1t 1 ・・・・・・(4)

図より, y= (t+1) 2+3

t=1のとき最大値  3

t=1のとき最小値  1

をとる.

t に対応する θ を求める.

cosθ= 1   θ=2π

cosθ=1   θ=0

以上より, y=sin2 θ2cos θ+1

θ=2πのとき最大値  3

θ=0のとき最小値  1

 

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最終更新日: 2023年4月12日