不定積分の問題

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

e 2x e 2x 1 dx   

■答

1 2 log| e 2x 1 |+C    C は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分 より

1 x dx=log| x |+C  ・・・・・・ ( 1 )           ( C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

e 2 x e 2 x 1 d x   

e 2x 1=t  とおいて,置換積分する.(置換積分の詳細は置換積分法を参照)

dt dx =2 e 2x ,   dt=2 e 2x ·dx ,  ∴ e 2x dx= 1 2 dt  

与式 = 1 t · 1 2 dt   

置換積分法の公式にあてはめる)

= 1 2 1 t dt   

1 2 を積分記号 の前に移せるのは, 不定積分の基本式 1 つ目の式を参照)

= 1 2 log| t |+C  

(方針の公式 ( 1 ) にあてはめる)

= 1 2 log| e 2x 1 |+C   

(最初に e 2x 1=t と置換したので,元に戻す)

■別解(1)

e 2x =t  とおいて,置換積分する.(置換積分の詳細は置換積分法を参照)

dt dx =2 e 2x ,   dt=2 e 2x ·dx ,  ∴ e 2x dx= 1 2 dt  

与式 = 1 t1 · 1 2 dt   

置換積分法の公式にあてはめる)

= 1 2 1 t1 dt   

1 2 を積分記号 の前に移せるのは, 不定積分の基本式 1 つ目の式を参照)

= 1 2 log| t1 |+C   

(方針の公式 ( 1 ) にあてはめる)

= 1 2 log| e 2x 1 |+C   

(最初に e 2x =t と置換したので,元に戻す)

■別解(2)

積分の計算手順 より

f ( x ) f( x ) dx=log| f( x ) |+C  ・・・・・・ ( 2 )  

の公式を用いる.

( e 2x 1 ) =2 e 2x  より  e 2x e 2x 1 = 1 2 · 2 e 2x e 2x 1 = 1 2 · ( e 2x 1 ) e 2x 1  と考える.

与式 = 1 2 · ( e 2x 1 ) e 2x 1 dx   

= 1 2 ( e 2x 1 ) e 2x 1 dx   

1 2 を積分記号 の前に移せるのは,不定積分の基本式 1 つ目の式を参照)

= 1 2 log| e 2x 1 |+C   

(公式 ( 2 ) にあてはめる)

 

■確認問題

求まった答え   1 2 log| e 2x 1 |+C  を微分し,積分前の式   e 2x e 2x 1  に戻ることを確認しなさい.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>> e 2x e 2x 1 dx

学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日