不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

x 3x5 dx    

■答

2 45 ( 3x5 ) 3x5 ( 3x+ 10 3 )+C    C は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分 より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C    C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

3x5=t ,すなわち, x= t+5 3  とおくと

x 3x5 = 1 3 ( t+5 ) t = 1 3 ( t 3 2 +5 t 1 2 )  ・・・・・・(1)

となる.( t = t 1 2 となるのは,指数に関する定義 3 つ目を参照)

dx dt = 1 3 dx= 1 3 dt  ・・・・・・(2)

となる.(置換積分の詳細は置換積分法を参照)

与式 = 1 3 ( t 3 2 +5 t 1 2 )· 1 3 dt  

(与式に(1),(2)を代入する)

= 1 9 ( t 3 2 +5 t 1 2 ) dt   

1 9 を積分記号 の前に移せるのは, 不定積分の基本式を参照)

= 1 9 ( 2 5 t 5 2 + 10 3 t 3 2 )+C   

(方針の公式にあてはめる)

= 2 45 t 3 2 ( t+ 25 3 )+C   

= 2 45 ( 3x5 ) 3x5 ( 3x+ 10 3 )+C   

(最初に  3x5=t  と置換したので,元に戻す)

 

■確認問題

求まった答え  2 45 ( 3x5 ) 3x5 ( 3x+ 10 3 )+C  を微分し,積分前の式   x 3x5  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日