不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

3 x+1 x dx   

■答

2( x+1 ) x+1 +2x x +C    C は積分定数)

■ヒント

分母の有理化 より

1 a ± b = 1×( a b ) ( a ± b )( a b ) = a b ab    

基本となる関数の積分 より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C    C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

方針より, 3 x+1 x の分母・分子に   x+1 + x をかけ,有理化すると

3 x+1 x = 3( x+1 + x ) ( x+1 x )( x+1 + x )    

= 3( x+1 + x ) x+1x   

=3( x+1 + x )           ・・・・・・ ( α )

となる.よって, ( α ) を与式に代入して積分すると

与式 = 3( x+1 + x ) dx  

=3( x+1 dx+ x dx )   

3 を積分記号 の前に移せるのは,不定積分の基本式を参照)

=3( ( x+1 ) 1 2 dx+ x 1 2 dx )   

指数に関する定義を参照)

=3( 2 3 ( x+1 ) 3 2 + 2 3 x 3 2 )+C        

(ヒントの公式にあてはめる)

=2 ( x+1 ) 3 +2 x 3 +C    

=2( x+1 ) x+1 +2x x +C     

 

■確認問題

求まった答え  2( x+1 ) x+1 +2x x +C  を微分し,積分前の式   3 x+1 x  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日