cosx=tと置換する方法

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

sinxcosxdx  

■答

1 4 cos2x +C   ( C は積分定数)

■ヒント

置換積分法より

f( x )dx= f( x ) dx dt dt = f( g( t ) ) g ( t )dt  ・・・・・・ ( 1 )

基本となる関数の積分 より

xdx= 1 1+a x 1+a +C  ・・・・・・ ( 2 )         ( C  は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

cosx=t  ・・・・・・ ( 3 )

とおいて,置換積分する.置換積分の詳細は置換積分法を参照

dt dx =sinx   →  dt=sinxdx  ・・・・・・ ( 4 )

cosx  を微分すると sinx  になるのは,ここ  を参照)

与式 = cosx·sinxdx = t·( dt )  

与式に ( 3 ) ( 4 ) を用いて置換積分する

= tdt   (−を積分記号 の前に移せるのは,不定積分の基本式を参照)

方針の公式 ( 2 ) にを用いる

= 1 2 t 2 +C  

はじめに ( 3 ) とおいているので,元に戻す

= 1 2 cos 2 x+C  


これは 2 倍角の公式によって求まった答 1 4 cos 2 x + C  と異なっているが, 1 4 cos 2 x + C  を変形すると 1 2 cos 2 x+C  になる.

半角の公式 2 番目の式より

1 2 cos 2 x+C

= 1 2 ( 1+cos2x 2 )+C

= 1 4 cos2x 1 4 +C

ここで, 1 4 +C  も任意の定数となるので, 1 4 +C  を改めて C   とかき直す. 

= 1 4 cos2x +C

よって,このことから, cosx=t  とおいて置換積分する方法でも解くことができる.

 

■確認問題

求まった答え  1 2 cos 2 x+C  を微分し,積分前の式   sinxcosx  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日