不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x-6}}dx}}$  

■答

${\displaystyle 2\sqrt{x-6}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x-6}}dx}}$ 

計算しやすいように， ${\displaystyle \frac{\text{1}}{\sqrt{x-6}}}$ 　を累乗の形に変換すると

${\displaystyle \frac{\text{1}}{\sqrt{x-6}}={\sqrt{x-6}}^{-1}={\left(x-6\right)}^{-\frac{1}{2}}}$

となる．よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int {\left(x-6\right)}^{-\frac{1}{2}}dx}}$  

${\displaystyle =\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}{\left(x-6\right)}^{-\frac{1}{2}+1}+C}$  

(この公式：） ${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$と(1)を用いた)

$=2{\left(x-6\right)}^{\frac{1}{2}}+C$

${\displaystyle =2\sqrt{x-6}+C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2023年11月24日