不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{2x+2}{x^2+2x-4}dx}}$ 　　

■答

${\displaystyle \log \left|x^2+2-4\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

分母を微分すると分子になる→置換積分法を考える

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle x^2+2x-4=t}$ 　とおくと（置換積分の詳細は置換積分法を参照） 　

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2x+2}$　→　${\displaystyle \left(2x+2\right)dx=dt}$

となる．よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$${\displaystyle =\log \left|t\right|+C}$ 　　

（(1)の公式を用いた）

${\displaystyle =\log \left|x^2+2x-4\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

（${\displaystyle x^2+2x-4=t}$ をもとに戻した）

●参考

以下の公式を用いてもよい

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx}=\log \left|f\left(x\right)\right|+C}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日