不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x^2-1}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

・有理関数の場合，部分分数に分解できるならば，部分分数に分解する．

・基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

部分分数に分解する公式

${\displaystyle \frac{1}{x^2-a^2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)}$

を用いると

${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)}$　･･････(2)

となる．よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx}}$ 　

（与式に(2)を代入した）

(${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を先頭に出せるわけ，および，分数をそれぞれ積分できる理由は，不定積分の基本式を参照)

（(1)の公式を用いた）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}$　（$C$は積分定数） 　　

（対数計算の基本 を用いて式の変形を行う）

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日