不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

2倍角の公式より

${\displaystyle \cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

(1)より

${\displaystyle {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)}$　･･････(4)

式変形でき，（4）を与式に代入する

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left({\displaystyle \int dx+{\displaystyle \int \cos 2xdx}}\right)}$　･･････(5)

●各積分の計算

・${\displaystyle {\displaystyle \int dx=x+C}}$ （基本となる関数の積分参照）　･･････(6)

・${\displaystyle {\displaystyle \int \cos 2xdx}}$ は以下のように置換積分法を用いて計算する．

${\displaystyle 2x=t}$ とおく

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$

よって

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos 2x={\displaystyle \int \cos t\cdot \frac{1}{2}dt}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \cos tdt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\sin t+C}$

（ヒントの(3)を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\sin 2x+C}$　･･････(7)

(${\displaystyle t=2x}$より変数を$t$から$x$ 元に戻した）

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積分の結果(6)，(7)を(5)に代入する．

与式${\displaystyle =\frac{1}{2}\left({\displaystyle \int dx+{\displaystyle \int \cos 2xdx}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2023年11月24日