不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

x+4 2 x 2 +11x+12 dx

■答

1 2 log| 2x+3 |+C   Cは積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

1 x dx=log| x |+C   Cは積分定数) ・・・・・・(1)

の公式を用いる.

■解説

x+4 2 x 2 +11x+12 dx

2 x 2 +11x+12=( x+4 )( 2x+3 ) より

= x+4 ( x+4 )( 2x+3 ) dx

= 1 2x+3 dx

2x+3=t とおく置換積分法を用いて計算する.

dt dx =2  →  dx= 1 2 dt

よって

= 1 t 1 2 dt

(元の式に 2x+3=t を代入する)

= 1 2 1 t dt

= 1 2 log| t |+C   Cは積分定数)

(ヒントの式(1)を参照)

= 1 2 log| 2x+3 |+C   Cは積分定数)

( t=2x+3 より変数をtからxに戻した )

●備考

この公式

f ( a x + b ) d x = 1 a F ( a x + b ) + C

を使ってもよい.

 

■確認問題

求まった答え 1 2 log| 2x+3 |+C を微分し,積分前の式   x+4 2 x 2 +11x+12 に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2023年11月24日