不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

3x+4 dx

■答

2 9 ( 3x+4 ) 3x+4 +C   Cは積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C   Cは積分定数) ・・・・・・(1)

の公式を用いる.

■解説

3x+4 dx

3x+4=t とおく置換積分法を用いて計算する.

dt dx =3  →  dx= 1 3 dt

よって

与式 = t 1 3 dt

( 3x+4=t dx= 1 3 dt を与式に代入すした)

= 1 3 t dt

= 1 3 t 1 2 dt

( t 累乗の形にした)

= 1 3 1 1 2 +1 t 1 2 +1 +C   Cは積分定数)

(ヒントの式(1) を参照)

= 2 9 t 3 2 +C

= 2 9 ( 3x+4 ) 3 2 +C

( t=3x+4 より変数をtからxに戻した )

= 2 9 ( 3x+4 ) 3x+4 +C   Cは積分定数)

●備考

この公式

f ( a x + b ) d x = 1 a F ( a x + b ) + C

を使ってもよい.

 

■確認問題

求まった答え 2 9 ( 3x+4 ) 3x+4 +C を微分し,積分前の式   3x+4 に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2023年11月24日