不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-8x}}dx}}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{1-2x}+C}$ 　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-8x}}dx}}$

被積分関数を

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-8x}}=\frac{1}{2\sqrt{1-2x}}}$

と変形する

${\displaystyle 1-2x=t}$ と置き，置換積分する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2}$ 　→　${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{2\sqrt{t}}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)dt}}$

(${\displaystyle 1-2x=t}$，${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$ を代入した)

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{\displaystyle \int t^{-\frac{1}{2}}dt}}$

(ここを参照)

${\displaystyle =-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}{t}^{-\frac{1}{2}+1}+C}$ 　（$C$は積分定数）

（ヒントの公式(1)を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}{t}^{\frac{1}{2}}+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\sqrt{t}+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\sqrt{1-2x}+C}$

(${\displaystyle 1-2x=t}$より変数を$t$から$x$に戻した)

●備考

この公式

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$

を使ってもよい．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{1-2x}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-8x}}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日