三角形の面積の問題

三角形の面積の問題

■問題

空間座標上の3点 A 1,1,0 B 1,3,4 C 3,1,4 頂点とする三角形の面積を求めよ.

■答

2 17

■ヒント

三角形の面積の公式

1 2 AB 2 · AC 2 AB · AC 2

を使う.あるいは

ベクトル AB × AC の大きさ は, AB AC を2辺とする平行四辺形の面積となることを利用する. (外積の定義を参照)

平行四辺形の面積を S とすると

S=| AB × AC |

となり,三角形の面積は

S 2 = | AB × AC | 2

となる. AB =( a x   , a y   , a z ) AC =( b x   , b y   , b z ) のとき

AB × AC =( a y b z a z b y   , a z b x a x b z   , a x b y a y b x )

(外積の成分表示を参照)

となる.

■解説

AB , AC の成分を求めると,

AB = AO + OB = OB OA =( 1,3,4 )( 1,1,0 )=( 2,4,4 )

AC = AO + OC = OC OA =( 3,1,4 )( 1,1,0 )=( 4,2,4 )

となる.

AB 2 = 2 2 + 4 2 + 4 2 =36

AC 2 = 4 2 + 2 2 + 4 2 =36

AB · AC = 2,4,4 4,2,4 =8+8+16 =32

これらの値を使うと三角形の面積は公式より

1 2 36×36 32 2 = 1 2 2×3 4 2 10 = 1 2 2 4 3 4 2 6 =2 8164 =2 17

となる.

次は,外積を使った方法で三角形の面積を求めてみる.

まず,外積 AB × AC を求める.

AB × AC =( a y b z a z b y   , a z b x a x b z   , a x b y a y b x ) より,

a y b z a z b y = 4 × 4 4 × 2 = 8

a z b x a x b z = 4 × 4 2 × 4 = 8

a x b y a y b x = 2 × 2 4 × 4 = 12

AB × AC =( 8,8,12 )

となる.

よって,平行四辺形の面積 S=| AB × AC |

| AB × AC |=| ( 8,8,12 ) | = 8 2 + 8 2 + ( 12 ) 2 =4 17

となり,求める三角形の面積は

S 2 = | AB × AC | 2 =2 17

となる.


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学生スタッフ
最終更新日: 2023年2月17日