平面の方程式の問題

平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点 A 1,1,2 B 1,1,2 C 2,2,1 を通る平面の方程式を求めよ.

■答

5x2yz5=0

■ヒント

A( x 1 , y 1 , z 1 ) を通り,法線ベクトル n =(a,b,c) 平面の方程式

ax+by+cz+d=0   (法線ベクトル n = ( a , b , c ) )   

を用いる.

■解説

平面の方程式を

ax+by+cz+d=0   ・・・・・・(1)

とすると

a+b2c+d=0  ・・・・・・(2)    A ( 1 , 1 , 2 ) が平面上にあるから)
ab+2c+d=0  ・・・・・・(3)    ( B ( 1 , 1 , 2 ) が平面上にあるから)
2a+2b+c+d=0  ・・・・・・(4)   ( C ( 2 , 2 , 1 ) が平面上にあるから)

これら3式の連立方程式を解く

(2)-(3)より

2b4c=0 b=2c  ・・・・・・(5)

(3)-(4)より

a3b+c=0  ・・・・・・(6)

(5)に(6)を代入する

a3 2c +c=0 a=5c  ・・・・・・(7)

(5),(7)を(2)に代入する

5c+2c2c+d=0 d=5c  ・・・・・・(8)

(5),(7),(8)をまとめると

a=5c,b=2c,d=5c

という結果が得られる.

これらを平面の方程式に代入すると

5cx+2cy+cz+5c=0

となる.両辺を c で割ると平面の方程式

5x2yz5=0

が求まる.

別解1:始めに法線ベクトルを求める方法

別解2:外積を用いた解法


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学生スタッフ
最終更新日: 2023年2月15日