重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( x2xy+3y )dxdy    ( D:1x1,2y0 )

■答

12  

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

D ( x2xy+3y )dxdy  

領域 D より変数 x と変数 y 積分範囲を決定する. 

= 1 1 2 0 x2xy+3y dy)dx  

x を定数とみなして y について積分する. 

= 1 1 [ xyx y 2 + 3 2 y 2 ] 2 0 dx  

= 1 1 [ x·0x· 0 2 + 3 2 · 0 2 { x·( 2 )x· ( 2 ) 2 + 3 2 · ( 2 ) 2 } ]dx  

= 1 1 { 0( 2x4x+6 ) }dx  

= 1 1 { 0( 6x+6 ) }dx  

= 1 1 ( 6x6 )dx  

重積分の基本公式から 6をくくりだす. 

=6 1 1 ( x1 )dx  

積分結果を更に x で積分する. 

=6 [ 1 2 x 2 x ] 1 1  

=6[ 1 2 · 1 2 1{ 1 2 · ( 1 ) 2 +1 } ]  

=6{ 1 2 1( 1 2 +1 ) }  

=6( 1 2 1 2 1 )  

=6·( 2 )  

=12  

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月2日