重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( x 2 + y 2 )dxdy    ( D:2x2,2y2 )

■答

= 128 3  

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

D ( x 2 + y 2 )dxdy

領域 D より変数 x と変数 y 積分範囲を決定する.

= 2 2 { 2 2 ( x 2 + y 2 )dy } dx

まず, 2 2 x 2 + y 2 dy の計算をする. x を定数とみなして y について積分する.

= 2 2 [ x 2 y+ 1 3 y 3 ] 2 2 dx

= 2 2 [ x 2 ·2+ 1 3 · 2 3 { x 2 ·( 2 )+ 1 3 · ( 2 ) 3 } ]dx

= 2 2 { 2 x 2 + 8 3 ( 2 x 2 8 3 ) }dx

= 2 2 ( 2 x 2 + 8 3 +2 x 2 + 8 3 )dx

= 2 2 ( 4 x 2 + 16 3 )dx

重積分の基本公式から4を積分記号の前にくくりだす. 

=4 2 2 ( x 2 + 4 3 )dx  

積分結果を更に x で積分する. 

=4 [ 1 3 x 3 + 4 3 x ] 2 2  

=4[ 1 3 · 2 3 + 4 3 ·2{ 1 3 · ( 2 ) 3 + 4 3 ·( 2 ) } ]  

=4{ 8 3 + 8 3 ( 8 3 8 3 ) }  

=4( 8 3 + 8 3 + 8 3 + 8 3 )  

=4· 8 3 ·4  

= 128 3  

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月2日