重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( 4xy )dxdy    ( D:0x2,xyx )

■答

32 3

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D の範囲より

D ( 4 x y ) d x d y

= 0 2 ( x x ( 4 x y ) d y ) d x

まず, x x 4xy dy を計算する. x を定数とみなして y について積分する. 

= 0 2 [ 4 y x y 1 2 y 2 ] x x d x

= 0 2 [ 4 x x · x 1 2 x 2 { 4 · ( x ) x · ( x ) 1 2 · ( x ) 2 } ] d x

= 0 2 { 4 x x 2 1 2 x 2 ( 4 x + x 2 1 2 x 2 ) } d x

= 0 2 ( 4 x x 2 1 2 x 2 + 4 x x 2 + 1 2 x 2 ) d x

= 0 2 ( 2 x 2 + 8 x ) d x

重積分の基本公式 から-2を積分記号の前にくくりだす. 

= 2 0 2 ( x 2 4 x ) d x

更に x で積分する. 

= 2 [ 1 3 x 3 2 x 2 ] 0 2

= 2 { 1 3 · 2 3 2 · 2 2 ( 1 3 · 0 3 2 · 0 2 ) }

= 2 ( 8 3 8 0 )

= 2 · 8 24 3

= 2 · ( 16 3 )

= 32 3

 

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最終更新日: 2023年8月19日