重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( xy ) 2 dxdy    ( D:| x+2 |1,| x2y |1 )

■答

7 3

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D より

| x+2 | 1

1x+2 1

3x1


| x2y | 1

1x2y 1

x12y x+1

1 2 x+ 1 2 y 1 2 x 1 2

1 2 x 1 2 y 1 2 x+ 1 2

以上から領域 D

D:3x1 1 2 x 1 2 y 1 2 x+ 1 2

となる.よって

D ( x y ) 2 d x d y

重積分する関数を展開する. 

= D ( x 2 2 x y + y 2 ) d x d y

= 3 1 ( 1 2 x 1 2 1 2 x + 1 2 ( x 2 2 x y + y 2 ) d y ) d x

まず, 1 2 x 1 2 1 2 x+ 1 2 x 2 2xy+ y 2 dy を積分する. x を定数とみなして y で積分する. 

= 3 1 [ x 2 y x y 2 + 1 3 y 3 ] 1 2 x 1 2 1 2 x + 1 2 d x

= 3 1 [ x 2 ( 1 2 x + 1 2 ) x ( 1 2 x + 1 2 ) 2 + 1 3 ( 1 2 x + 1 2 ) 3

{ x 2 ( 1 2 x 1 2 ) x ( 1 2 x 1 2 ) 2 + 1 3 ( 1 2 x 1 2 ) 3 } ] d x

= 3 1 [ 1 2 x 3 + 1 2 x 2 ( 1 2 ) 2 x ( x + 1 ) 2 + ( 1 2 ) 3 · 1 3 ( x + 1 ) 3

{ 1 2 x 3 1 2 x 2 ( 1 2 ) 2 x ( x 1 ) 2 + ( 1 2 ) 3 · 1 3 ( x 1 ) 3 } ] d x

= 3 1 [ 1 2 x 3 + 1 2 x 2 1 4 x ( x 2 + 2 x + 1 ) + 1 8 · 1 3 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 )

{ 1 2 x 3 1 2 x 2 1 4 x ( x 2 2 x + 1 ) + 1 8 · 1 3 ( x 3 3 x 2 + 3 x 1 ) } ] d x

= 3 1 [ 1 2 x 3 + 1 2 x 2 1 4 x 3 1 2 x 2 1 4 x + 1 24 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 )

{ 1 2 x 3 1 2 x 2 1 4 x 3 + 1 2 x 2 1 4 x + 1 24 ( x 3 3 x 2 + 3 x 1 ) } ] d x

= 3 1 { 1 2 x 3 1 4 x 3 1 4 x + 1 24 x 3 + 1 8 x 2 + 1 8 x + 1 24

( 1 2 x 3 1 4 x 3 1 4 x + 1 24 x 3 1 8 x 2 + 1 8 x 1 24 ) } d x

= 3 1 ( 1 2 x 3 1 4 x 3 1 4 x + 1 24 x 3 + 1 8 x 2 + 1 8 x + 1 24

1 2 x 3 + 1 4 x 3 + 1 4 x 1 24 x 3 + 1 8 x 2 1 8 x + 1 24 ) d x

= 3 1 ( 1 8 x 2 + 1 24 + 1 8 x 2 + 1 24 ) d x

= 3 1 ( 1 4 x 2 + 1 12 ) d x

重積分の公式から 1 4 を積分記号の前にくくりだす. 

= 1 4 3 1 ( x 2 + 1 3 ) d x

更に x で積分する. 

= 1 4 [ 1 3 x 3 + 1 3 x ] 3 1

= 1 12 [ x 3 + x ] 3 1

= 1 12 [ ( 1 ) 3 1 { ( 3 ) 3 3 } ]

= 1 12 { 1 1 ( 27 3 ) }

= 1 12 ( 2 + 27 + 3 )

= 1 12 · 28

= 7 3

 

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最終更新日: 2023年8月3日