${\displaystyle e^{-at}\cos \left(\omega t+\theta \right)}$ のラプラス変換

${\displaystyle L\left\{e^{-at}\cos \left(\omega t+\theta \right)\right\}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(s+a\right)\cos \theta -\omega \sin \theta }{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2}}$

ただし， ${\displaystyle \mathrm{Re}\left(s+a\right)>0}$ とする．

■証明

三角関数の加法定理を用いると

${\displaystyle L\left\{e^{-at}\cos \left(\omega t+\theta \right)\right\}}$ ${\displaystyle =L\left\{e^{-at}\left(\cos \omega t\cos \theta -\sin \omega t\sin \theta \right)\right\}}$

${\displaystyle =L\left\{e^{-at}\cos \omega t\cos \theta -e^{-at}\sin \omega t\sin \theta \right\}}$

ラプラス変換の線形性 を用いると

${\displaystyle =L\left\{e^{-at}\cos \omega t\cos \theta \right\}-L\left\{e^{-at}\sin \omega t\sin \theta \right\}}$

${\displaystyle =\cos \theta L\left\{e^{-at}\cos \omega t\right\}-\sin \theta L\left\{e^{-at}\sin \omega t\right\}}$

${\displaystyle L\left\{e^{-at}\cos \omega t\right\}=\frac{s+a}{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2}}$ （ここを参照）， ${\displaystyle L\left\{e^{-at}\sin \omega t\right\}=\frac{\omega }{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2}}$（ここを参照） より

${\displaystyle =\cos \theta \frac{s+a}{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2}-\sin \theta \frac{\omega }{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2}}$

${\displaystyle =\frac{\left(s+a\right)\cos \theta -\omega \sin \theta }{{\left(s+a\right)}^2+{\omega }^2}}$

となり，証明された．

 

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　最終更新日： 2026年7月29日